সমান্তর ও গুণোত্তর ধারা: n-তম পদ ও সমষ্টির সূত্র
একটি নির্দিষ্ট নিয়মে সাজানো সংখ্যার তালিকাকে অনুক্রম বলে, আর অনুক্রমের পদগুলোর যোগফলকে বলে ধারা। সবচেয়ে প্রচলিত দুটি হলো সমান্তর ও গুণোত্তর ধারা।
সমান্তর ধারা (Arithmetic Series)
পরপর দুটি পদের পার্থক্য সবসময় সমান থাকে। যেমন 3, 7, 11, 15, … এখানে সাধারণ অন্তর d = 4।
n-তম পদ: aₙ = a + (n − 1)d
সমষ্টি: Sₙ = (n/2)[2a + (n − 1)d] = (n/2)(a + l)
এখানে a = প্রথম পদ, d = সাধারণ অন্তর, l = শেষ পদ।
উদাহরণ ১: 3, 7, 11, … ধারার 20তম পদ ও প্রথম 20 পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।
- a₂₀ = 3 + 19 × 4 = 79
- S₂₀ = (20/2)(3 + 79) = 10 × 82 = 820
গুণোত্তর ধারা (Geometric Series)
পরপর দুটি পদের অনুপাত সবসময় সমান থাকে। যেমন 2, 6, 18, 54, … এখানে সাধারণ অনুপাত r = 3।
n-তম পদ: aₙ = a·rⁿ⁻¹
সমষ্টি: Sₙ = a(rⁿ − 1) / (r − 1), যখন r ≠ 1
উদাহরণ ২: 2, 6, 18, … ধারার 6ষ্ঠ পদ ও প্রথম 6 পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।
- a₆ = 2 × 3⁵ = 2 × 243 = 486
- S₆ = 2(3⁶ − 1)/(3 − 1) = 729 − 1 = 728
অসীম গুণোত্তর ধারা
|r| < 1 হলে পদগুলো ক্রমশ ছোট হতে থাকে এবং অসীম পদের সমষ্টি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার দিকে যায়:
S∞ = a / (1 − r)
উদাহরণ ৩: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … এর সমষ্টি কত?
- a = 1, r = 1/2
- S∞ = 1 / (1 − 1/2) = 2
আবৃত্ত দশমিককে ভগ্নাংশে রূপান্তরেও এটি কাজে লাগে: 0.333… = 3/10 + 3/100 + … = (3/10)/(1 − 1/10) = 1/3।
বিশেষ ধারার সমষ্টি
| ধারা | সমষ্টি |
|---|---|
| 1 + 2 + 3 + … + n | n(n + 1)/2 |
| 1² + 2² + … + n² | n(n + 1)(2n + 1)/6 |
| 1³ + 2³ + … + n³ | [n(n + 1)/2]² |
| 1 + 3 + 5 + … (প্রথম n বিজোড় সংখ্যা) | n² |
যেমন 1 থেকে 100 পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = 100 × 101 / 2 = 5050। গল্প প্রচলিত আছে, ছোট্ট গাউস এভাবেই মুহূর্তে এই যোগফল বের করেছিলেন।
সমান্তর না গুণোত্তর — চিনবেন কীভাবে?
- পরপর পদের বিয়োগফল সমান হলে সমান্তর
- পরপর পদের ভাগফল সমান হলে গুণোত্তর
- চক্রবৃদ্ধি মুনাফা গুণোত্তর ধারার বাস্তব উদাহরণ — দেখুন সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফা
সচরাচর জিজ্ঞাসা (FAQ)
সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর কীভাবে বের করব?
যেকোনো পদ থেকে তার আগের পদ বিয়োগ করলেই d পাওয়া যায়।
অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি কখন থাকে?
শুধু যখন সাধারণ অনুপাতের পরম মান 1 এর কম, অর্থাৎ −1 < r < 1।
1 থেকে n পর্যন্ত সংখ্যার যোগফলের সূত্র কী?
n(n + 1)/2।
