পারমুটেশন ও কম্বিনেশন: সাজানো ও বাছাইয়ের সহজ নিয়ম
কয়েকজনকে লাইনে দাঁড় করানো বা কয়েকজন থেকে একটি দল বাছাই — এ ধরনের গণনায় কাজে লাগে পারমুটেশন (বিন্যাস) ও কম্বিনেশন (সমাবেশ)। দুটির মূল পার্থক্য: পারমুটেশনে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ, কম্বিনেশনে ক্রম গুরুত্বহীন।
ফ্যাক্টরিয়াল
n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1
যেমন 5! = 5×4×3×2×1 = 120। বিশেষ মান: 0! = 1।
পারমুটেশনের সূত্র
ⁿPᵣ = n! / (n−r)!
n টি ভিন্ন বস্তু থেকে r টি নিয়ে সাজানোর মোট উপায়।
উদাহরণ ১
5 জন প্রার্থী থেকে সভাপতি, সহসভাপতি ও সম্পাদক নির্বাচনের উপায় কত? (এখানে পদ ভিন্ন বলে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ)
⁵P₃ = 5!/2! = 120/2 = 60 উপায়।
কম্বিনেশনের সূত্র
ⁿCᵣ = n! / (r! (n−r)!)
n টি ভিন্ন বস্তু থেকে r টি বেছে নেওয়ার উপায়, যেখানে ক্রম কোনো ব্যাপার নয়।
উদাহরণ ২
10 জন ছাত্র থেকে 4 জনের একটি দল বাছাইয়ের উপায় কত?
¹⁰C₄ = 10!/(4!·6!) = (10×9×8×7)/(4×3×2×1) = 5040/24 = 210 উপায়।
পার্থক্য এক নজরে
| বিষয় | পারমুটেশন | কম্বিনেশন |
|---|---|---|
| ক্রম | গুরুত্বপূর্ণ | গুরুত্বহীন |
| কাজ | সাজানো | বাছাই করা |
| সূত্র | n!/(n−r)! | n!/(r!(n−r)!) |
| উদাহরণ | পাসওয়ার্ড তৈরি | কমিটি গঠন |
| ফলাফল | বড় | ছোট (nCr = nPr / r!) |
গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম
- ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ — যেমন ¹⁰C₇ = ¹⁰C₃ = 120।
- ⁿC₀ = ⁿCₙ = 1 এবং ⁿC₁ = n।
- ⁿCᵣ + ⁿCᵣ₊₁ = ⁿ⁺¹Cᵣ₊₁ (পাস্কালের ত্রিভুজের ভিত্তি)।
পুনরাবৃত্ত বস্তুর বিন্যাস
“MATH” এর অক্ষরগুলো সাজানোর উপায় 4! = 24। কিন্তু “BANANA” এ A তিনবার ও N দুবার থাকায় উপায় = 6!/(3!·2!) = 720/12 = 60।
সম্ভাবনার সাথে সম্পর্ক
বহু সম্ভাবনার সমস্যায় অনুকূল ও মোট ফলাফল গুনতে এই সূত্রই লাগে। আগে সম্ভাবনার মূল ধারণা দেখে নিন। দ্বিপদী বিস্তারের সহগও nCr: দ্বিপদী ক্যালকুলেটর চেষ্টা করুন।
উত্তর মেলাতে ব্যবহার করুন পারমুটেশন ও কম্বিনেশন ক্যালকুলেটর।
সচরাচর জিজ্ঞাসা (FAQ)
কখন পারমুটেশন, কখন কম্বিনেশন?
ক্রম বদলালে ফল বদলে গেলে পারমুটেশন; না বদলালে কম্বিনেশন।
0! কেন 1?
ফাঁকা সাজানোর একটিই উপায় আছে এবং এতে nCr সূত্র সামঞ্জস্য থাকে।
nPr ও nCr এর সম্পর্ক কী?
ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r!।
