বৃত্তের সমীকরণ: আদর্শ ও সাধারণ রূপ, কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয়
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু (কেন্দ্র) থেকে সমান দূরত্বে থাকা সব বিন্দুর সেটই বৃত্ত। এই সমান দূরত্বটি ব্যাসার্ধ। দূরত্বের সূত্র ব্যবহার করেই বৃত্তের সমীকরণ পাওয়া যায়।
আদর্শ রূপ
কেন্দ্র (h, k) এবং ব্যাসার্ধ r হলে:
(x − h)² + (y − k)² = r²
কেন্দ্র মূলবিন্দু (0, 0) হলে সমীকরণ দাঁড়ায় x² + y² = r²।
সাধারণ রূপ
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
- কেন্দ্র = (−g, −f)
- ব্যাসার্ধ r = √(g² + f² − c)
- g² + f² − c > 0 হলে বাস্তব বৃত্ত, = 0 হলে বিন্দুবৃত্ত, < 0 হলে কোনো বাস্তব বৃত্ত নেই
সাধারণ রূপ চেনার শর্ত: x² ও y² এর সহগ সমান এবং xy পদ নেই।
ব্যাসের প্রান্তবিন্দু রূপ
কোনো ব্যাসের দুই প্রান্ত (x₁, y₁) ও (x₂, y₂) জানা থাকলে:
(x − x₁)(x − x₂) + (y − y₁)(y − y₂) = 0
সমাধানসহ উদাহরণ
উদাহরণ ১: কেন্দ্র (2, −3) ও ব্যাসার্ধ 5 এমন বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো।
- (x − 2)² + (y + 3)² = 25
- বিস্তৃত করে: x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0
উদাহরণ ২: x² + y² − 6x + 8y − 11 = 0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ বের করো।
- 2g = −6 ⇒ g = −3; 2f = 8 ⇒ f = 4; c = −11
- কেন্দ্র = (3, −4)
- r = √(9 + 16 + 11) = √36 = 6
উদাহরণ ৩: (1, 2) ও (5, 6) বিন্দু দুটি যে বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু, তার সমীকরণ নির্ণয় করো।
- (x − 1)(x − 5) + (y − 2)(y − 6) = 0
- x² − 6x + 5 + y² − 8y + 12 = 0
- x² + y² − 6x − 8y + 17 = 0
একটি বিন্দু বৃত্তের ভেতরে না বাইরে?
বিন্দু (x₁, y₁) সাধারণ সমীকরণের বাম পক্ষে বসালে মান S₁ পাওয়া যায়। S₁ < 0 হলে বিন্দুটি ভেতরে, = 0 হলে বৃত্তের ওপরে, > 0 হলে বাইরে।
কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ দিয়ে সমীকরণ যাচাই করতে ব্যবহার করুন বৃত্তের সমীকরণ ক্যালকুলেটর। বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও পরিধি দেখুন ক্ষেত্রফল ও আয়তনের সূত্র লেখায়।
সচরাচর জিজ্ঞাসা (FAQ)
বৃত্তের সমীকরণে r² কেন থাকে?
কারণ দূরত্বের সূত্রে বর্গমূল থাকে; উভয় পক্ষ বর্গ করলে r² আসে।
x² + y² = 16 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
কেন্দ্র মূলবিন্দু এবং ব্যাসার্ধ √16 = 4।
সাধারণ রূপ থেকে কেন্দ্র বের করার নিয়ম কী?
x ও y এর সহগের অর্ধেক নিয়ে চিহ্ন উল্টে দিলেই কেন্দ্র (−g, −f)।
