ফাংশন ও লেখচিত্র: ডোমেন, রেঞ্জ ও সাধারণ ফাংশনের গ্রাফ
যে নিয়মে একটি সেটের প্রতিটি উপাদানের সঙ্গে আরেকটি সেটের ঠিক একটি উপাদানের সম্পর্ক থাকে, তাকে ফাংশন বলে। যেমন f(x) = 2x + 1 নিয়মে x = 3 হলে f(3) = 7। ক্যালকুলাস, স্থানাঙ্ক জ্যামিতি ও বাস্তব জীবনের মডেল — সবখানে ফাংশনই ভিত্তি।
ডোমেন ও রেঞ্জ
- ডোমেন: x এর যেসব মানের জন্য ফাংশন সংজ্ঞায়িত
- রেঞ্জ: ফাংশন থেকে পাওয়া সম্ভাব্য সব y এর মান
ডোমেন নির্ণয়ের তিনটি নিয়ম
- হর শূন্য হতে পারবে না: f(x) = 1/(x − 2) হলে x ≠ 2
- বর্গমূলের ভেতর ঋণাত্মক হতে পারবে না: f(x) = √(x − 3) হলে x ≥ 3
- লগারিদমের ভেতর ধনাত্মক হতে হবে: f(x) = ln(x + 1) হলে x > −1
ফাংশনের প্রকারভেদ
| প্রকার | অর্থ | উদাহরণ |
|---|---|---|
| এক-এক (one-one) | ভিন্ন x এর জন্য ভিন্ন y | f(x) = 2x + 1 |
| সার্বিক (onto) | কোডোমেনের প্রতিটি মান অন্তত একবার পাওয়া যায় | f: ℝ → ℝ, f(x) = x³ |
| জোড় ফাংশন | f(−x) = f(x), গ্রাফ y-অক্ষ বরাবর প্রতিসম | x², cos x |
| বিজোড় ফাংশন | f(−x) = −f(x), গ্রাফ মূলবিন্দু বরাবর প্রতিসম | x³, sin x |
সংযোজিত ও বিপরীত ফাংশন
- সংযোজিত ফাংশন: (f∘g)(x) = f(g(x))
- বিপরীত ফাংশন f⁻¹ পেতে y = f(x) লিখে x কে y এর মাধ্যমে প্রকাশ করে x ও y অদলবদল করতে হয়
- শুধু এক-এক ও সার্বিক ফাংশনেরই বিপরীত থাকে
উদাহরণ: f(x) = 3x − 4 এর বিপরীত ফাংশন নির্ণয় করো।
- y = 3x − 4
- x = (y + 4)/3
- f⁻¹(x) = (x + 4)/3
উদাহরণ: f(x) = x² এবং g(x) = x + 1 হলে f(g(2)) ও g(f(2)) নির্ণয় করো।
- g(2) = 3, তাই f(g(2)) = 9
- f(2) = 4, তাই g(f(2)) = 5
- লক্ষ করুন f∘g ≠ g∘f
সাধারণ ফাংশনের লেখচিত্র
| ফাংশন | লেখচিত্রের আকার | বৈশিষ্ট্য |
|---|---|---|
| y = mx + c | সরলরেখা | ঢাল m, y-ছেদক c |
| y = ax² + bx + c | অধিবৃত্ত (parabola) | a > 0 হলে ওপরে খোলা, শীর্ষবিন্দু x = −b/2a |
| y = x³ | S-আকৃতির বক্ররেখা | মূলবিন্দু দিয়ে যায়, বিজোড় ফাংশন |
| y = 1/x | পরাবৃত্ত (hyperbola) | x = 0 ও y = 0 অসীমতট |
| y = eˣ | দ্রুত বর্ধমান বক্ররেখা | সবসময় ধনাত্মক, (0, 1) দিয়ে যায় |
| y = sin x | তরঙ্গ | পর্যায়কাল 2π, মান −1 থেকে 1 |
যেকোনো ফাংশন লিখে সঙ্গে সঙ্গে গ্রাফ দেখতে ব্যবহার করুন আমাদের ফাংশন গ্রাফ ভিজ্যুয়ালাইজার। রৈখিক ফাংশনের বিস্তারিত দেখুন সরলরেখার সমীকরণ লেখায়।
সচরাচর জিজ্ঞাসা (FAQ)
সব সম্পর্ক কি ফাংশন?
না। কোনো x এর জন্য একাধিক y থাকলে সেটি ফাংশন নয়।
উল্লম্ব রেখা পরীক্ষা কী?
গ্রাফে যেকোনো উল্লম্ব রেখা বক্ররেখাকে একাধিক বিন্দুতে ছেদ করলে সেটি ফাংশনের গ্রাফ নয়।
f(x) = √x এর ডোমেন কী?
x ≥ 0, অর্থাৎ [0, ∞)।
নতুন লেখা ও টুলের খবর ইমেইলে পান
নতুন গণিত গাইড, সূত্র ও ম্যাথ টুল প্রকাশ হলেই জানিয়ে দেব। কোনো স্প্যাম নয়।
