বীজগণিতের সূত্র: বর্গ, ঘন ও উৎপাদকের সব সূত্র উদাহরণসহ
বীজগণিতের প্রায় সব অঙ্কের পেছনে কয়েকটি মৌলিক সূত্র কাজ করে। এগুলো ভালোভাবে আয়ত্ত করলে সরলীকরণ, উৎপাদকে বিশ্লেষণ ও মান নির্ণয় অনেক সহজ হয়ে যায়। বীজগণিতের মূল ধারণা জানতে পড়ুন বীজগণিত কী।
বর্গের সূত্র
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
a² − b² = (a + b)(a − b)
- (a + b)² = (a − b)² + 4ab
- (a − b)² = (a + b)² − 4ab
- a² + b² = (a + b)² − 2ab = (a − b)² + 2ab
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
ঘনের সূত্র
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
- (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
- (a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b)
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) = (a + b)³ − 3ab(a + b)
- a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) = (a − b)³ + 3ab(a − b)
- a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
বিশেষ ফল: a + b + c = 0 হলে a³ + b³ + c³ = 3abc।
সমাধানসহ উদাহরণ
উদাহরণ ১: a + b = 7 এবং ab = 10 হলে a² + b² এর মান কত?
- a² + b² = (a + b)² − 2ab
- = 7² − 2 × 10 = 49 − 20 = 29
উদাহরণ ২: 103² এর মান সূত্রের সাহায্যে বের করো।
- 103² = (100 + 3)²
- = 100² + 2 × 100 × 3 + 3²
- = 10000 + 600 + 9 = 10609
উদাহরণ ৩: x³ − 27 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।
- x³ − 27 = x³ − 3³
- = (x − 3)(x² + 3x + 9)
উদাহরণ ৪: x − 1/x = 3 হলে x³ − 1/x³ এর মান কত?
- x³ − 1/x³ = (x − 1/x)³ + 3 · x · (1/x) · (x − 1/x)
- = 3³ + 3 × 3 = 27 + 9 = 36
শিক্ষার্থীদের সাধারণ ভুল
- (a + b)² কে a² + b² লেখা — মাঝের 2ab বাদ পড়ে যায়।
- (a − b)² এ শেষ পদ b² এর চিহ্ন ধনাত্মকই থাকে, ঋণাত্মক নয়।
- a³ + b³ এর উৎপাদকে মাঝের চিহ্ন “−ab”, আর a³ − b³ এ “+ab”।
দ্বিঘাত সমীকরণে এই সূত্রগুলোর ব্যবহার দেখতে পড়ুন দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি। বড় ঘাতের বিস্তৃতির জন্য দেখুন দ্বিপদী উপপাদ্য।
সচরাচর জিজ্ঞাসা (FAQ)
(a+b)² আর a²+b² কি একই?
না। (a+b)² = a² + 2ab + b², অর্থাৎ a² + b² এর চেয়ে 2ab বেশি।
a³+b³ এর সূত্র কী?
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)।
এই সূত্রগুলো কোন শ্রেণিতে লাগে?
সপ্তম-অষ্টম শ্রেণি থেকে শুরু করে SSC, HSC ও ভর্তি পরীক্ষা পর্যন্ত সব স্তরেই লাগে।
নতুন লেখা ও টুলের খবর ইমেইলে পান
নতুন গণিত গাইড, সূত্র ও ম্যাথ টুল প্রকাশ হলেই জানিয়ে দেব। কোনো স্প্যাম নয়।
