যোগজীকরণের সূত্র: অনির্দিষ্ট ও নির্দিষ্ট যোগজ উদাহরণসহ
যোগজীকরণ (integration) হলো অন্তরীকরণের বিপরীত প্রক্রিয়া। কোনো ফাংশনের অন্তরজ জানা থাকলে মূল ফাংশনটি খুঁজে বের করাই যোগজীকরণ। এর সাহায্যে বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্রফলও নির্ণয় করা যায়। আগে অন্তরীকরণের সূত্র ঝালিয়ে নিলে এই অধ্যায় সহজ লাগবে।
মৌলিক যোগজ সূত্র
প্রতিটি অনির্দিষ্ট যোগজের শেষে একটি যোগজ ধ্রুবক C যোগ করতে হয়।
| ফাংশন | যোগজ |
|---|---|
| xⁿ (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ / ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| sec²x | tan x + C |
| cosec²x | −cot x + C |
| sec x tan x | sec x + C |
| 1/√(1 − x²) | sin⁻¹x + C |
| 1/(1 + x²) | tan⁻¹x + C |
| 1/(a² + x²) | (1/a) tan⁻¹(x/a) + C |
যোগজীকরণের নিয়ম
∫[f(x) ± g(x)] dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx
∫k·f(x) dx = k ∫f(x) dx
প্রতিস্থাপন পদ্ধতি
যোগজের ভেতরে কোনো অংশ ও তার অন্তরজ দুটোই থাকলে সেই অংশকে নতুন চলক (যেমন u) ধরে সমাধান করা হয়।
খণ্ডিত যোগজ (Integration by parts)
∫u v dx = u ∫v dx − ∫[u′ ∫v dx] dx
u বাছাইয়ের ক্রম মনে রাখতে “ILATE” ব্যবহার করা হয়: Inverse ত্রিকোণমিতিক, Logarithmic, Algebraic, Trigonometric, Exponential — যেটি আগে আসে সেটি u।
নির্দিষ্ট যোগজ
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
এখানে F(x) হলো f(x)-এর যোগজ। নির্দিষ্ট যোগজে C লাগে না, কারণ বিয়োগের সময় তা বাদ পড়ে যায়। f(x) ≥ 0 হলে এর মান x = a থেকে x = b পর্যন্ত বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্রফল।
সমাধানসহ উদাহরণ
উদাহরণ ১: ∫(3x² + 4x − 5) dx
- = 3 · x³/3 + 4 · x²/2 − 5x + C
- = x³ + 2x² − 5x + C
উদাহরণ ২: ∫2x cos(x²) dx
u = x² ধরলে du = 2x dx
- = ∫cos u du = sin u + C
- = sin(x²) + C
উদাহরণ ৩: ∫x eˣ dx
খণ্ডিত যোগজ: u = x, v = eˣ
- = x eˣ − ∫1 · eˣ dx
- = x eˣ − eˣ + C = eˣ(x − 1) + C
উদাহরণ ৪: ∫₀² x² dx
- = [x³/3]₀²
- = 8/3 − 0 = 8/3
- অর্থাৎ y = x² বক্ররেখা, x-অক্ষ এবং x = 0 থেকে x = 2 এর মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফল 8/3 বর্গ একক।
ধাপে ধাপে সমাধান দেখতে ব্যবহার করুন আমাদের ইন্টিগ্রেশন ক্যালকুলেটর।
সচরাচর জিজ্ঞাসা (FAQ)
যোগজ ধ্রুবক C কেন যোগ করতে হয়?
কারণ ধ্রুবকের অন্তরজ শূন্য। তাই x² + 5 ও x² − 3 উভয়ের অন্তরজ 2x; যোগজ করলে কোন ধ্রুবক ছিল তা জানা যায় না।
1/x এর যোগজ কত?
ln|x| + C। এখানে ঘাতের সূত্র খাটে না, কারণ n = −1 হলে হর শূন্য হয়ে যায়।
নির্দিষ্ট ও অনির্দিষ্ট যোগজের পার্থক্য কী?
অনির্দিষ্ট যোগজ একটি ফাংশন (C সহ) দেয়, আর নির্দিষ্ট যোগজ সীমা বসিয়ে একটি সংখ্যা দেয়।
