যোগজীকরণ (ইন্টিগ্রেশন) কী?

অন্তরীকরণের বিপরীত প্রক্রিয়াকে যোগজীকরণ বলে। যদি d/dx[F(x)] = f(x) হয়, তবে F(x) কে f(x) এর যোগজ বা প্রতি-অন্তরজ (antiderivative) বলা হয় এবং লেখা হয় ∫f(x) dx = F(x) + C। এখানে C হলো যোগজীকরণ ধ্রুবক, কারণ যেকোনো ধ্রুবকের অন্তরজ শূন্য।

অনির্দিষ্ট ও নির্দিষ্ট যোগজ

সীমা ছাড়া যোগজকে অনির্দিষ্ট যোগজ বলে — এর ফলাফল একটি ফাংশন এবং সাথে + C থাকে। আর a থেকে b পর্যন্ত সীমাসহ যোগজকে নির্দিষ্ট যোগজ বলে, যার মান একটি সংখ্যা। জ্যামিতিকভাবে এটি x = a ও x = b এর মধ্যে বক্ররেখা ও x-অক্ষের মধ্যবর্তী চিহ্নযুক্ত ক্ষেত্রফল।

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)

গুরুত্বপূর্ণ যোগজীকরণ সূত্র

ফাংশন f(x)	যোগজ ∫f(x) dx
xⁿ (n ≠ −1)	xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
1/x	ln|x| + C
eˣ	eˣ + C
eᵃˣ	eᵃˣ/a + C
sin x	−cos x + C
cos x	sin x + C
sec²x	tan x + C
1/(1 + x²)	tan⁻¹x + C

কীভাবে ব্যবহার করবেন

1. f(x) ঘরে ফাংশন লিখুন — ঘাতের জন্য ^ (যেমন x^3), গুণের জন্য * অথবা পাশাপাশি (3x)।
2. নির্দিষ্ট যোগজ চাইলে নিম্নসীমা a ও ঊর্ধ্বসীমা b দিন; শুধু অনির্দিষ্ট যোগজ চাইলে ঘর দুটি খালি রাখুন।
3. “সমাধান করো” চাপুন — যোগজ, ধাপে ধাপে ব্যাখ্যা ও লেখচিত্র দেখাবে।

ইনপুট লেখার নিয়ম

• x² → x^2, √x → sqrt(x)
• স্বাভাবিক লগ → ln(x), eˣ → e^x, e²ˣ → e^(2x)
• ত্রিকোণমিতিক ফাংশন → sin(x), cos(x), tan(x), π → pi

একটি সমাধান করা উদাহরণ

প্রশ্ন: ∫₀² (3x² + 2x) dx এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান: অনির্দিষ্ট যোগজ F(x) = x³ + x²। অতএব ∫₀² (3x² + 2x) dx = F(2) − F(0) = (8 + 4) − 0 = 12।

সাধারণ জিজ্ঞাসা (FAQ)

যোগজের সাথে + C কেন লেখা হয়?

কারণ F(x) এবং F(x) + 5 — দুটোরই অন্তরজ একই f(x)। তাই অনির্দিষ্ট যোগজ একটি নির্দিষ্ট ফাংশন নয়, বরং ধ্রুবক C দ্বারা আলাদা অসংখ্য ফাংশনের পরিবার।

1/x এর যোগজ ln|x| কেন?

x ঋণাত্মক হলেও d/dx(ln|x|) = 1/x হয়। টুলটি ফল ln(x) আকারে দেখায়, পরীক্ষার খাতায় ln|x| + C লেখাই সঠিক।

সব ফাংশনের যোগজ কি বের করা যায়?

না। যেমন e^(x²) এর যোগজ সাধারণ (প্রাথমিক) ফাংশনে প্রকাশ করা যায় না। এমন ক্ষেত্রে টুলটি জানিয়ে দেবে।

আরও দেখুন: ডেরিভেটিভ ক্যালকুলেটর · ফাংশন গ্রাফ ভিজ্যুয়ালাইজার

নতুন লেখা ও টুলের খবর ইমেইলে পান নতুন গণিত গাইড, সূত্র ও ম্যাথ টুল প্রকাশ হলেই জানিয়ে দেব। কোনো স্প্যাম নয়।

সাবস্ক্রাইব করুন