অন্তরীকরণের সূত্র ও নিয়ম: ঘাত, গুণফল, ভাগফল ও শৃঙ্খল নিয়ম
অন্তরীকরণ (differentiation) দিয়ে আমরা কোনো ফাংশনের পরিবর্তনের হার বা ঢাল বের করি। ধারণাটি প্রথমবার পড়লে আগে দেখে নিন ক্যালকুলাস কী। এখানে HSC পর্যায়ের প্রয়োজনীয় সূত্র ও নিয়মগুলো সাজানো হলো।
মৌলিক অন্তরজ
| ফাংশন f(x) | অন্তরজ f′(x) |
|---|---|
| c (ধ্রুবক) | 0 |
| xⁿ | n xⁿ⁻¹ |
| √x | 1 / (2√x) |
| 1/x | −1/x² |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ ln a |
| ln x | 1/x |
| logₐ x | 1 / (x ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tan x | sec²x |
| cot x | −cosec²x |
| sec x | sec x tan x |
| cosec x | −cosec x cot x |
| sin⁻¹x | 1/√(1 − x²) |
| tan⁻¹x | 1/(1 + x²) |
অন্তরীকরণের নিয়ম
১. ধ্রুবক গুণিতক ও যোগ-বিয়োগ
d/dx[c·f(x)] = c·f′(x)
d/dx[f(x) ± g(x)] = f′(x) ± g′(x)
২. গুণফলের নিয়ম (Product rule)
d/dx(uv) = u·v′ + v·u′
৩. ভাগফলের নিয়ম (Quotient rule)
d/dx(u/v) = (v·u′ − u·v′) / v²
৪. শৃঙ্খল নিয়ম (Chain rule)
y = f(g(x)) হলে dy/dx = f′(g(x)) · g′(x)
শৃঙ্খল নিয়মে বাইরের ফাংশনের অন্তরজ নিয়ে ভেতরের অংশ যেমন আছে রেখে দিন, তারপর ভেতরের অংশের অন্তরজ দিয়ে গুণ করুন।
সমাধানসহ উদাহরণ
উদাহরণ ১: y = 3x⁴ − 5x² + 7
- dy/dx = 3 × 4x³ − 5 × 2x + 0
- = 12x³ − 10x
উদাহরণ ২: y = x² sin x
গুণফলের নিয়ম: u = x², v = sin x
- dy/dx = x² · cos x + sin x · 2x
- = x² cos x + 2x sin x
উদাহরণ ৩: y = (x² + 1) / x
ভাগফলের নিয়ম: u = x² + 1, v = x
- dy/dx = (x · 2x − (x² + 1) · 1) / x²
- = (x² − 1) / x² = 1 − 1/x²
উদাহরণ ৪: y = sin(3x² + 1)
শৃঙ্খল নিয়ম
- বাইরের ফাংশন sin, ভেতরে 3x² + 1
- dy/dx = cos(3x² + 1) × 6x
- = 6x cos(3x² + 1)
উদাহরণ ৫: y = e^(2x)
- dy/dx = e^(2x) × 2 = 2e^(2x)
অন্তরীকরণের ব্যবহার
- বক্ররেখার কোনো বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল নির্ণয়
- গতিবিদ্যায় বেগ (সরণের অন্তরজ) ও ত্বরণ (বেগের অন্তরজ)
- ফাংশনের সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান (f′(x) = 0)
উত্তর মিলিয়ে নিতে ব্যবহার করুন ডেরিভেটিভ ক্যালকুলেটর। বিপরীত প্রক্রিয়ার জন্য পড়ুন যোগজীকরণের সূত্র।
সচরাচর জিজ্ঞাসা (FAQ)
xⁿ এর অন্তরজ কত?
n·xⁿ⁻¹। যেমন x⁵ এর অন্তরজ 5x⁴।
eˣ এর অন্তরজ কত?
eˣ — এটি একমাত্র মৌলিক ফাংশন যার অন্তরজ নিজেই।
শৃঙ্খল নিয়ম কখন লাগে?
যখন একটি ফাংশনের ভেতরে আরেকটি ফাংশন থাকে, যেমন sin(2x), (x²+1)⁵, e^(x²)।
