সরলরেখার সমীকরণ: ঢাল, বিভিন্ন রূপ ও দূরত্বের সূত্র

স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে সরলরেখা সবচেয়ে মৌলিক বিষয়। x ও y অক্ষের সাহায্যে একটি রেখাকে সমীকরণ দিয়ে প্রকাশ করা যায়, আর সেই সমীকরণ থেকে রেখার ঢাল, ছেদবিন্দু ও অবস্থান জানা যায়।

দুই বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব ও মধ্যবিন্দু

দূরত্ব d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

মধ্যবিন্দু = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)

ঢাল (Slope)

দুটি বিন্দু (x₁, y₁) ও (x₂, y₂) দিয়ে যাওয়া রেখার ঢাল:

m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

• রেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে θ কোণ করলে m = tan θ
• x-অক্ষের সমান্তরাল রেখার ঢাল 0
• y-অক্ষের সমান্তরাল রেখার ঢাল অসংজ্ঞায়িত

সরলরেখার সমীকরণের বিভিন্ন রূপ

সমান্তরাল ও লম্ব রেখা

• দুটি রেখা সমান্তরাল হলে m₁ = m₂
• দুটি রেখা পরস্পর লম্ব হলে m₁ × m₂ = −1

বিন্দু থেকে রেখার লম্ব দূরত্ব

d = |a x₁ + b y₁ + c| / √(a² + b²)

সমাধানসহ উদাহরণ

উদাহরণ ১: (1, 2) ও (3, 8) বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

1. ঢাল m = (8 − 2)/(3 − 1) = 3
2. বিন্দু-ঢাল রূপ: y − 2 = 3(x − 1)
3. y = 3x − 1

উদাহরণ ২: 2x + 3y − 6 = 0 রেখার লম্ব এবং (1, 1) বিন্দুগামী রেখা নির্ণয় করো।

1. প্রদত্ত রেখার ঢাল = −2/3
2. লম্ব রেখার ঢাল = 3/2 (কারণ −2/3 × 3/2 = −1)
3. y − 1 = (3/2)(x − 1) ⇒ 3x − 2y − 1 = 0

উদাহরণ ৩: (2, 3) বিন্দু থেকে 3x + 4y − 3 = 0 রেখার দূরত্ব কত?

1. d = |3 × 2 + 4 × 3 − 3| / √(9 + 16)
2. = |15| / 5 = 3 একক

যেকোনো দুই বিন্দু বা ঢাল দিয়ে সমীকরণ পেতে ব্যবহার করুন সরলরেখার সমীকরণ ক্যালকুলেটর। দূরত্বের সূত্রটি আসলে পাইথাগোরাসের উপপাদ্য থেকেই এসেছে।

সচরাচর জিজ্ঞাসা (FAQ)

y = mx + c তে m ও c কী বোঝায়?

m হলো ঢাল, অর্থাৎ x এক একক বাড়লে y কত বাড়ে; c হলো রেখাটি y-অক্ষকে যেখানে ছেদ করে।

দুটি রেখা লম্ব কি না কীভাবে বুঝব?

তাদের ঢালের গুণফল −1 হলে রেখা দুটি পরস্পর লম্ব।

x = 5 রেখার ঢাল কত?

এটি y-অক্ষের সমান্তরাল উল্লম্ব রেখা, তাই ঢাল অসংজ্ঞায়িত।