জটিল সংখ্যা: i, মডুলাস, আর্গুমেন্ট ও পোলার রূপ সহজ ভাষায়

x² + 1 = 0 সমীকরণের কোনো বাস্তব সমাধান নেই, কারণ কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক হয় না। এই সমস্যা সমাধানে গণিতবিদরা একটি নতুন সংখ্যা i সংজ্ঞায়িত করেন, যেখানে i² = −1। এখান থেকেই জটিল সংখ্যার শুরু।

জটিল সংখ্যার রূপ

z = a + ib

এখানে a হলো বাস্তব অংশ, Re(z), এবং b হলো কাল্পনিক অংশ, Im(z)।

i এর ঘাত

প্রতি চার ঘাত পরপর মান পুনরাবৃত্তি হয়। তাই iⁿ বের করতে n কে 4 দিয়ে ভাগ করে ভাগশেষ দেখুন। যেমন i²⁰²⁶: 2026 ÷ 4 এর ভাগশেষ 2, তাই i²⁰²⁶ = i² = −1।

মৌলিক প্রক্রিয়া

• যোগ: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
• গুণ: (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
• ভাগ: লব ও হরকে হরের অনুবন্ধী দিয়ে গুণ করতে হয়

অনুবন্ধী, মডুলাস ও আর্গুমেন্ট

• অনুবন্ধী: z̄ = a − ib
• মডুলাস: |z| = √(a² + b²)
• z · z̄ = a² + b² = |z|²
• আর্গুমেন্ট: θ = tan⁻¹(b/a), চতুর্ভাগ দেখে সঠিক কোণ নিতে হয়

পোলার রূপ ও দ্য মোয়াভারের উপপাদ্য

z = r(cos θ + i sin θ)

এখানে r = |z| এবং θ = arg z। দ্য মোয়াভারের উপপাদ্য অনুযায়ী:

(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ

সমাধানসহ উদাহরণ

উদাহরণ ১: (3 + 2i)(1 − 4i) সরল করো।

1. = 3 − 12i + 2i − 8i²
2. = 3 − 10i + 8 = 11 − 10i

উদাহরণ ২: (2 + 3i) / (1 − i) কে a + ib রূপে লেখো।

1. লব ও হরকে (1 + i) দিয়ে গুণ করি
2. = (2 + 2i + 3i + 3i²) / (1 − i²) = (−1 + 5i) / 2
3. = −1/2 + (5/2)i

উদাহরণ ৩: z = 1 + i√3 এর মডুলাস, আর্গুমেন্ট ও পোলার রূপ নির্ণয় করো।

1. |z| = √(1 + 3) = 2
2. θ = tan⁻¹(√3) = 60° = π/3
3. z = 2(cos π/3 + i sin π/3)

দ্বিঘাত সমীকরণে নিশ্চায়ক b² − 4ac ঋণাত্মক হলে মূল দুটি জটিল সংখ্যা হয় — দেখুন দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি। হিসাব যাচাই করতে ব্যবহার করুন জটিল সংখ্যা ক্যালকুলেটর।

সচরাচর জিজ্ঞাসা (FAQ)

i এর মান কত?

i = √(−1), অর্থাৎ i² = −1।

জটিল সংখ্যার মডুলাস কী বোঝায়?

আর্গান্ড চিত্রে মূলবিন্দু থেকে বিন্দু (a, b) এর দূরত্ব।

প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা কি জটিল সংখ্যা?

হ্যাঁ। b = 0 হলে a + i·0 = a, তাই বাস্তব সংখ্যা জটিল সংখ্যারই একটি অংশ।