ত্রিকোণমিতি সহজ ভাষায়: sin, cos, tan ও গুরুত্বপূর্ণ সূত্র
ত্রিকোণমিতি (Trigonometry) শব্দের অর্থ ত্রিভুজের পরিমাপ। সমকোণী ত্রিভুজের বাহু ও কোণের সম্পর্ক নিয়েই এর শুরু, আর শেষটা তরঙ্গ, আলো, শব্দ ও প্রকৌশলের অসংখ্য শাখায়।
ছয়টি ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
সমকোণী ত্রিভুজে কোণ θ এর জন্য: লম্ব (বিপরীত বাহু), ভূমি (সংলগ্ন বাহু) ও অতিভুজ।
| অনুপাত | সংজ্ঞা | বিপরীত অনুপাত |
|---|---|---|
| sin θ | লম্ব / অতিভুজ | cosec θ = অতিভুজ / লম্ব |
| cos θ | ভূমি / অতিভুজ | sec θ = অতিভুজ / ভূমি |
| tan θ | লম্ব / ভূমি | cot θ = ভূমি / লম্ব |
মনে রাখার কৌশল: “লঅ ভঅ লভ” — sin = লম্ব/অতিভুজ, cos = ভূমি/অতিভুজ, tan = লম্ব/ভূমি।
বিশেষ কোণের মান
| কোণ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| tan | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | অসংজ্ঞায়িত |
একটি কৌশল: sin এর মানগুলো √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 হিসেবে ভাবুন; cos এর ক্ষেত্রে ক্রম উল্টে যায়।
মৌলিক ত্রিকোণমিতিক অভেদ
sin²θ + cos²θ = 1
1 + tan²θ = sec²θ
1 + cot²θ = cosec²θ
প্রথম অভেদটি আসলে পাইথাগোরাসের উপপাদ্য থেকেই এসেছে (পাইথাগোরাসের উপপাদ্য পড়ুন)। এর ব্যবহার দেখতে একটি উদাহরণ:
সমাধানসহ উদাহরণ
উদাহরণ ১: sin θ = 3/5 হলে cos θ ও tan θ কত? (θ সূক্ষ্মকোণ)
cos²θ = 1 − 9/25 = 16/25, তাই cos θ = 4/5। tan θ = sin θ / cos θ = 3/4।
উদাহরণ ২: গাছের উচ্চতা
গাছের গোড়া থেকে 20 মিটার দূরে দাঁড়িয়ে চূড়াকে 60° উন্নতি কোণে দেখা যায়। গাছের উচ্চতা কত?
tan 60° = উচ্চতা / 20 ⇒ উচ্চতা = 20 × √3 ≈ 34.64 মিটার।
ডিগ্রি ও রেডিয়ান
কোণ মাপার দুটি একক আছে। সম্পর্কটি হলো:
180° = π রেডিয়ান
অর্থাৎ 90° = π/2, 60° = π/3, 45° = π/4, 30° = π/6 রেডিয়ান। ক্যালকুলাসে রেডিয়ানই স্বাভাবিক একক।
কোন চতুর্ভাগে কোন অনুপাত ধনাত্মক?
- প্রথম চতুর্ভাগ (0°–90°): সবগুলো ধনাত্মক।
- দ্বিতীয় চতুর্ভাগ (90°–180°): শুধু sin ও cosec।
- তৃতীয় চতুর্ভাগ (180°–270°): শুধু tan ও cot।
- চতুর্থ চতুর্ভাগ (270°–360°): শুধু cos ও sec।
যেকোনো কোণের মান যাচাই করতে আমাদের ত্রিকোণমিতি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন, আর sin x এর লেখচিত্র দেখতে ফাংশন গ্রাফ টুল খুলুন। অন্তরীকরণের জন্য রয়েছে অন্তরক ক্যালকুলেটর।
সচরাচর জিজ্ঞাসা (FAQ)
tan 90° এর মান কত?
অসংজ্ঞায়িত, কারণ cos 90° = 0 এবং শূন্য দিয়ে ভাগ করা যায় না।
sin θ এর মান কি 1 এর বেশি হতে পারে?
না। −1 ≤ sin θ ≤ 1 এবং cos θ এর ক্ষেত্রেও একই।
ত্রিকোণমিতি কোথায় কাজে লাগে?
উচ্চতা-দূরত্ব নির্ণয়, প্রকৌশল, পদার্থবিজ্ঞানের তরঙ্গ, কম্পিউটার গ্রাফিক্স ও নেভিগেশনে।
