নির্ণায়ক (Determinant): 2×2 ও 3×3 নির্ণায়কের মান ও বৈশিষ্ট্য

প্রতিটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের সঙ্গে একটি সংখ্যা যুক্ত থাকে, যাকে বলে নির্ণায়ক। এটি দিয়ে বোঝা যায় ম্যাট্রিক্সের বিপরীত আছে কি না, এবং সমীকরণজোটের সমাধানও বের করা যায়। ম্যাট্রিক্সের মূল ধারণা জানতে পড়ুন ম্যাট্রিক্স কী।

2×2 নির্ণায়ক

| a b ; c d | = ad − bc

উদাহরণ: | 3 5 ; 2 4 | = 3 × 4 − 5 × 2 = 12 − 10 = 2

অনুরাশি ও সহগুণক

• কোনো ভুক্তি aᵢⱼ এর অনুরাশি Mᵢⱼ: ওই ভুক্তির সারি ও কলাম বাদ দিয়ে বাকি নির্ণায়কের মান
• সহগুণক Cᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ Mᵢⱼ
• চিহ্নের নকশা: + − + / − + − / + − +

3×3 নির্ণায়ক

প্রথম সারি বরাবর বিস্তৃত করে:

|A| = a₁₁C₁₁ + a₁₂C₁₂ + a₁₃C₁₃

উদাহরণ: | 1 2 3 ; 0 4 5 ; 1 0 6 | এর মান নির্ণয় করো।

1. = 1 × (4×6 − 5×0) − 2 × (0×6 − 5×1) + 3 × (0×0 − 4×1)
2. = 1 × 24 − 2 × (−5) + 3 × (−4)
3. = 24 + 10 − 12 = 22

নির্ণায়কের গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য

• সারি ও কলাম বিনিময় করলে (ট্রান্সপোজ) মান একই থাকে: |Aᵀ| = |A|
• দুটি সারি বা কলাম পরস্পর স্থান বদল করলে মানের চিহ্ন বদলে যায়
• দুটি সারি বা কলাম অভিন্ন হলে মান শূন্য
• কোনো সারির সব ভুক্তিকে k দিয়ে গুণ করলে মানও k গুণ হয়
• এক সারির গুণিতক অন্য সারিতে যোগ করলে মান বদলায় না
• |AB| = |A| × |B|

ব্যবহার

বিপরীত ম্যাট্রিক্স

|A| ≠ 0 হলেই A এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স আছে: A⁻¹ = adj(A) / |A|। |A| = 0 হলে ম্যাট্রিক্সটিকে ব্যতিক্রমী (singular) বলে।

ক্রেমারের নিয়ম

a₁x + b₁y = c₁ এবং a₂x + b₂y = c₂ হলে D = a₁b₂ − a₂b₁, Dₓ = c₁b₂ − c₂b₁, Dᵧ = a₁c₂ − a₂c₁ এবং x = Dₓ/D, y = Dᵧ/D।

উদাহরণ: 2x + 3y = 8 এবং x − y = −1 সমাধান করো।

1. D = 2(−1) − 1(3) = −5
2. Dₓ = 8(−1) − (−1)(3) = −5
3. Dᵧ = 2(−1) − 1(8) = −10
4. x = 1, y = 2

3×3 পর্যন্ত নির্ণায়ক ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স যাচাই করতে ব্যবহার করুন ম্যাট্রিক্স ক্যালকুলেটর।

সচরাচর জিজ্ঞাসা (FAQ)

নির্ণায়ক কি শুধু বর্গ ম্যাট্রিক্সের হয়?

হ্যাঁ, সারি ও কলাম সংখ্যা সমান না হলে নির্ণায়ক সংজ্ঞায়িত নয়।

নির্ণায়কের মান শূন্য হলে কী বোঝায়?

ম্যাট্রিক্সটির বিপরীত নেই এবং সংশ্লিষ্ট সমীকরণজোটের অনন্য সমাধান নেই।

ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়কের পার্থক্য কী?

ম্যাট্রিক্স হলো সংখ্যার সাজানো বিন্যাস, আর নির্ণায়ক হলো একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স থেকে পাওয়া একক সংখ্যা।