দ্বিপদী উপপাদ্য: (a+b)ⁿ এর বিস্তৃতি, সাধারণ পদ ও মধ্যপদ

(a + b)² বা (a + b)³ এর বিস্তৃতি আমরা মুখস্থ রাখি, কিন্তু (a + b)¹⁰ গুণ করে বের করা কঠিন। দ্বিপদী উপপাদ্য যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n এর জন্য (a + b)ⁿ এর বিস্তৃতি সরাসরি দেয়।

দ্বিপদী উপপাদ্যের সূত্র

(a + b)ⁿ = ⁿC₀ aⁿ + ⁿC₁ aⁿ⁻¹ b + ⁿC₂ aⁿ⁻² b² + … + ⁿCₙ bⁿ

এখানে ⁿCᵣ = n! / [r!(n − r)!]। এই সহগগুলো সমাবেশ থেকে আসে।

বিস্তৃতির বৈশিষ্ট্য

• মোট পদসংখ্যা n + 1
• প্রতিটি পদে a ও b এর ঘাতের যোগফল n
• a এর ঘাত n থেকে কমে 0 হয়, b এর ঘাত 0 থেকে বেড়ে n হয়
• শুরু ও শেষ থেকে সমদূরবর্তী সহগ সমান: ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ
• সব সহগের যোগফল 2ⁿ

প্যাসকেলের ত্রিভুজ

ছোট n এর জন্য সহগ মনে রাখার সহজ উপায়। প্রতিটি সংখ্যা তার ওপরের দুই সংখ্যার যোগফল:

সাধারণ পদ

Tᵣ₊₁ = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ

মধ্যপদ

• n জোড় হলে একটি মধ্যপদ: (n/2 + 1)-তম পদ
• n বিজোড় হলে দুটি মধ্যপদ: ((n+1)/2)-তম ও ((n+3)/2)-তম পদ

সমাধানসহ উদাহরণ

উদাহরণ ১: (x + 2)⁴ বিস্তৃত করো।

1. সহগ: 1, 4, 6, 4, 1
2. = x⁴ + 4x³(2) + 6x²(4) + 4x(8) + 16
3. = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16

উদাহরণ ২: (2x − 3)⁶ এর বিস্তৃতিতে চতুর্থ পদ নির্ণয় করো।

1. T₄ = T₃₊₁, তাই r = 3
2. T₄ = ⁶C₃ (2x)³ (−3)³
3. = 20 × 8x³ × (−27) = −4320x³

উদাহরণ ৩: (x + 1/x)⁸ এর বিস্তৃতিতে x বর্জিত পদ নির্ণয় করো।

1. Tᵣ₊₁ = ⁸Cᵣ x⁸⁻ʳ (1/x)ʳ = ⁸Cᵣ x⁸⁻²ʳ
2. x বর্জিত হলে 8 − 2r = 0 ⇒ r = 4
3. পদটি = ⁸C₄ = 70

যেকোনো বিস্তৃতি ধাপে ধাপে দেখতে ব্যবহার করুন দ্বিপদী বিস্তৃতি ক্যালকুলেটর।

সচরাচর জিজ্ঞাসা (FAQ)

(a+b)ⁿ এর বিস্তৃতিতে কয়টি পদ থাকে?

n + 1 টি।

দ্বিপদী সহগগুলোর যোগফল কত?

2ⁿ। a = b = 1 বসালে এটি পাওয়া যায়।

সাধারণ পদের সূত্রে r কেন একটি কম?

কারণ প্রথম পদে r = 0। তাই (r+1)-তম পদের জন্য সূত্রে r ব্যবহার হয়।