ক্ষেত্রফল ও আয়তনের সূত্র: ত্রিভুজ, বৃত্ত, ঘনক, সিলিন্ডার ও গোলক
পরিমিতি (mensuration) অংশের অঙ্কে বেশিরভাগ সময় শুধু সঠিক সূত্রটি বসাতে পারলেই কাজ হয়ে যায়। এখানে দ্বিমাত্রিক আকৃতির ক্ষেত্রফল ও ত্রিমাত্রিক বস্তুর আয়তন ও পৃষ্ঠতলের সূত্র একসঙ্গে দেওয়া হলো। সব জায়গায় π ≈ 3.1416 বা 22/7 ধরা হয়।
দ্বিমাত্রিক আকৃতির ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা
| আকৃতি | ক্ষেত্রফল | পরিসীমা |
|---|---|---|
| আয়তক্ষেত্র (দৈর্ঘ্য a, প্রস্থ b) | ab | 2(a + b) |
| বর্গক্ষেত্র (বাহু a) | a² | 4a |
| ত্রিভুজ (ভূমি b, উচ্চতা h) | ½ × b × h | তিন বাহুর যোগফল |
| সমবাহু ত্রিভুজ (বাহু a) | (√3/4) a² | 3a |
| সামান্তরিক (ভূমি b, উচ্চতা h) | b × h | 2(a + b) |
| ট্রাপিজিয়াম (সমান্তর বাহু a, b; উচ্চতা h) | ½ (a + b) h | চার বাহুর যোগফল |
| রম্বস (কর্ণ d₁, d₂) | ½ d₁ d₂ | 4a |
| বৃত্ত (ব্যাসার্ধ r) | πr² | 2πr (পরিধি) |
হেরনের সূত্র
তিন বাহু a, b, c জানা থাকলে অর্ধপরিসীমা s = (a + b + c)/2 ধরে:
ক্ষেত্রফল = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]
ত্রিমাত্রিক বস্তুর আয়তন ও পৃষ্ঠতল
| বস্তু | আয়তন | সমগ্র পৃষ্ঠতল |
|---|---|---|
| ঘনক (বাহু a) | a³ | 6a² |
| আয়তঘন (a, b, c) | abc | 2(ab + bc + ca) |
| সিলিন্ডার (r, h) | πr²h | 2πr(r + h) |
| কোণক (r, h, হেলানো উচ্চতা l) | ⅓ πr²h | πr(r + l) |
| গোলক (r) | ⁴⁄₃ πr³ | 4πr² |
| অর্ধগোলক (r) | ⅔ πr³ | 3πr² |
কোণকের হেলানো উচ্চতা l = √(r² + h²) — এটি আসলে পাইথাগোরাসের উপপাদ্য।
সমাধানসহ উদাহরণ
উদাহরণ ১: 5, 12, 13 সেমি বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
- s = (5 + 12 + 13)/2 = 15
- ক্ষেত্রফল = √[15 × 10 × 3 × 2] = √900 = 30 বর্গসেমি
- যাচাই: এটি সমকোণী ত্রিভুজ, ½ × 5 × 12 = 30 ✓
উদাহরণ ২: ব্যাসার্ধ 7 সেমি ও উচ্চতা 10 সেমি এমন সিলিন্ডারের আয়তন কত?
- আয়তন = πr²h = (22/7) × 7² × 10
- = 22 × 7 × 10 = 1540 ঘনসেমি
উদাহরণ ৩: 3 সেমি ব্যাসার্ধের গোলকের পৃষ্ঠতল কত?
- পৃষ্ঠতল = 4πr² = 4 × 3.1416 × 9
- ≈ 113.1 বর্গসেমি
এককের রূপান্তর মনে রাখুন
- 1 মিটার = 100 সেমি, তাই 1 বর্গমিটার = 10,000 বর্গসেমি
- 1 ঘনমিটার = 1,000,000 ঘনসেমি
- 1 লিটার = 1000 ঘনসেমি
বৃত্ত নিয়ে স্থানাঙ্ক জ্যামিতির অঙ্কের জন্য দেখুন বৃত্তের সমীকরণ।
সচরাচর জিজ্ঞাসা (FAQ)
বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র কী?
ক্ষেত্রফল = πr², যেখানে r হলো ব্যাসার্ধ।
সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
বক্রতল = 2πrh। দুই প্রান্তের বৃত্ত যোগ করলে সমগ্র তল = 2πr(r + h)।
হেরনের সূত্র কখন ব্যবহার করব?
যখন ত্রিভুজের তিন বাহু জানা কিন্তু উচ্চতা জানা নেই।
নতুন লেখা ও টুলের খবর ইমেইলে পান
নতুন গণিত গাইড, সূত্র ও ম্যাথ টুল প্রকাশ হলেই জানিয়ে দেব। কোনো স্প্যাম নয়।
