লগারিদম কী? সূত্র, নিয়ম ও সহজ উদাহরণ
অনেক শিক্ষার্থীর কাছে লগারিদম কঠিন মনে হয়, অথচ ধারণাটি সহজ: লগারিদম হলো ঘাতের উল্টো প্রশ্ন। “2 এর কত ঘাত করলে 8 হয়?” — এর উত্তরই log₂ 8।
লগারিদমের সংজ্ঞা
aˣ = N ⇔ logₐ N = x (a > 0, a ≠ 1, N > 0)
এখানে a হলো ভিত্তি (base), N হলো সংখ্যা এবং x হলো লগারিদমের মান। যেমন 2³ = 8 তাই log₂ 8 = 3; 10² = 100 তাই log₁₀ 100 = 2।
লগারিদমের পাঁচটি প্রধান সূত্র
| সূত্র | নিয়ম |
|---|---|
| গুণের নিয়ম | logₐ(MN) = logₐ M + logₐ N |
| ভাগের নিয়ম | logₐ(M/N) = logₐ M − logₐ N |
| ঘাতের নিয়ম | logₐ(Mⁿ) = n · logₐ M |
| ভিত্তি পরিবর্তন | logₐ N = log_b N / log_b a |
| বিশেষ মান | logₐ 1 = 0 এবং logₐ a = 1 |
সমাধানসহ উদাহরণ
উদাহরণ ১: মান নির্ণয় করুন — log₂ 32
32 = 2⁵, অতএব log₂ 32 = 5।
উদাহরণ ২: সূত্র প্রয়োগ — log 4 + log 25
log 4 + log 25 = log(4 × 25) = log 100 = 2 (ভিত্তি 10)।
উদাহরণ ৩: সমীকরণ — log₃(x + 1) = 2
সংজ্ঞা অনুযায়ী x + 1 = 3² = 9, অতএব x = 8। যাচাই: log₃ 9 = 2 ✓।
উদাহরণ ৪: ভিত্তি পরিবর্তন — log₄ 8
log₄ 8 = log₂ 8 / log₂ 4 = 3/2 = 1.5।
সাধারণ লগ ও স্বাভাবিক লগ
- সাধারণ লগ (log): ভিত্তি 10, ইঞ্জিনিয়ারিং ও pH মাপে ব্যবহৃত।
- স্বাভাবিক লগ (ln): ভিত্তি e ≈ 2.71828, ক্যালকুলাস ও বিজ্ঞানে অপরিহার্য।
ln x এর অন্তরক = 1/x
বাস্তব জীবনে লগারিদম
- ভূমিকম্পের রিখটার স্কেল ও শব্দের ডেসিবেল স্কেল লগারিদমিক।
- জনসংখ্যা বা ব্যাংকের চক্রবৃদ্ধি সুদ কত সময়ে দ্বিগুণ হবে তা নির্ণয়।
- রাসায়নিক দ্রবণের pH = −log[H⁺]।
- কম্পিউটার বিজ্ঞানে অ্যালগরিদমের জটিলতা (log n)।
সতর্কতা
ঋণাত্মক বা শূন্য সংখ্যার লগ বাস্তব সংখ্যায় সংজ্ঞায়িত নয়। আর log(M + N) কখনোই log M + log N নয় — এটি একটি বহুল প্রচলিত ভুল।
উত্তর যাচাই করতে লগারিদম ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন। ঘাত ও দ্বিপদী বিস্তারের জন্য আছে দ্বিপদী ক্যালকুলেটর, আর ln x এর অন্তরক দেখতে অন্তরক ক্যালকুলেটর।
সচরাচর জিজ্ঞাসা (FAQ)
log 0 এর মান কত?
অসংজ্ঞায়িত। কোনো ঘাতেই ধনাত্মক ভিত্তি শূন্য হয় না।
log এবং ln এর পার্থক্য কী?
log সাধারণত ভিত্তি 10, ln এর ভিত্তি e।
লগারিদম কে আবিষ্কার করেন?
স্কটিশ গণিতবিদ জন নেপিয়ার ১৬১৪ সালে এটি প্রকাশ করেন।
