দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানকারী
a, b, c এর মান বসিয়ে যেকোনো দ্বিঘাত সমীকরণের মূল, লেখচিত্র এবং ধাপে ধাপে সমাধান বের করুন। HSC শিক্ষার্থীদের অনুশীলনের জন্য তৈরি।
সহগ (Coefficients) ইনপুট দিন
সমীকরণটি ax² + bx + c = 0 আকারে সাজিয়ে a, b, c বসান।
দ্রুত চেষ্টা করতে উদাহরণে ক্লিক করুন:
লেখচিত্র (Graph)
উপরে মান বসালে প্যারাবোলা এবং মূলগুলো এখানে স্বয়ংক্রিয়ভাবে দেখা যাবে।
কীভাবে ব্যবহার করবেন?
- ১প্রথমে সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আকারে সাজিয়ে নিন।
- ২উপরের বক্সে a, b, c এর মান বসান (চিহ্ন সহ)।
- ৩“সমাধান করো” বাটনে ক্লিক করুন।
- ৪নিচে বিভেদক, মূল এবং লেখচিত্র দেখতে পাবেন।
বিস্তারিত গাইড — দ্বিঘাত সমীকরণ
HSC পরীক্ষার্থীদের জন্য ধাপে ধাপে ব্যাখ্যা, নিয়ম এবং উদাহরণ
১দ্বিঘাত সমীকরণ কী?
যে সমীকরণে চলকের সর্বোচ্চ ঘাত ২ (দুই), তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equation) বলে। এর সাধারণ রূপ হলো —
এখানে a, b, c ধ্রুবক (constant) এবং a কখনো শূন্য হতে পারবে না, কারণ a = 0 হলে সমীকরণটি আর দ্বিঘাত থাকে না, রৈখিক হয়ে যায়।
২দ্বিঘাত সূত্র (Quadratic Formula)
যেকোনো দ্বিঘাত সমীকরণের মূল নির্ণয়ের সবচেয়ে সহজ উপায় হলো নিচের সূত্র প্রয়োগ করা —
এই সূত্রটি “শূন্য বানানোর পদ্ধতি” (completing the square) থেকে প্রতিপাদন করা হয়েছে। HSC পরীক্ষায় প্রায়ই এই সূত্রের প্রতিপাদনও চাওয়া হতে পারে, তাই এটি মুখস্থ না রেখে বোঝাটাই ভালো।
৩বিভেদক (Discriminant) — মূলের প্রকৃতি বোঝার চাবিকাঠি
সূত্রের ভিতরে থাকা b² − 4ac অংশটুকুকে বলা হয় বিভেদক, সংক্ষেপে D। এর মান দেখেই না গুণে বলে দেওয়া যায় মূল কেমন হবে —
| বিভেদকের মান | মূলের প্রকৃতি | উদাহরণ |
|---|---|---|
| D > 0 | দুইটি ভিন্ন বাস্তব মূল | x² − 5x + 6 = 0 |
| D = 0 | দুইটি সমান বাস্তব মূল | x² − 4x + 4 = 0 |
| D < 0 | বাস্তব মূল নেই, জটিল মূল | x² + x + 1 = 0 |
৪মূলের সমষ্টি ও গুণফল
যদি সমীকরণের দুইটি মূল α (আলফা) ও β (বিটা) হয়, তাহলে —
এই সম্পর্কগুলো ব্যবহার করে নতুন সমীকরণ গঠন করা (যেমন: মূলের বর্গের সমষ্টি নির্ণয়) HSC-তে খুব কমন একটি প্রশ্ন।
৫গ্রাফের সাথে সম্পর্ক (Graphical Meaning)
দ্বিঘাত সমীকরণের গ্রাফ একটি প্যারাবোলা (parabola)। এই প্যারাবোলা যেখানে x-অক্ষকে ছেদ করে, সেই বিন্দুগুলোই হলো সমীকরণের বাস্তব মূল।
- •D > 0 হলে প্যারাবোলা x-অক্ষকে দুই জায়গায় ছেদ করে।
- •D = 0 হলে প্যারাবোলা x-অক্ষকে ঠিক এক বিন্দুতে স্পর্শ করে (tangent)।
- •D < 0 হলে প্যারাবোলা x-অক্ষকে কখনোই স্পর্শ করে না।
উপরের টুলে মান বসালে ঠিক এই আচরণটাই লেখচিত্রে দেখতে পাবে।
৬একটি সমাধান করা উদাহরণ
এখানে a = 1, b = −5, c = 6
D = b² − 4ac = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1 (D > 0, তাই দুইটি ভিন্ন বাস্তব মূল)
x = ( −b ± √D ) / 2a = ( 5 ± 1 ) / 2
সুতরাং x = 3 অথবা x = 2
৭গুরুত্বপূর্ণ পরিভাষা
৮HSC পরীক্ষার জন্য গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট
- ✓সমীকরণকে অবশ্যই = 0 আকারে সাজিয়ে নিতে হবে সূত্র বসানোর আগে।
- ✓a, b, c বসানোর সময় চিহ্ন (+/−) নিয়ে সতর্ক থাকো — এখানেই সবচেয়ে বেশি ভুল হয়।
- ✓মূলদ সহগবিশিষ্ট সমীকরণে জটিল মূল সবসময় জোড়ায় আসে: p + qi এবং p − qi।
- ✓উৎপাদক বিশ্লেষণ দ্রুত সমাধানে কাজে লাগে, কিন্তু সূত্র সব ক্ষেত্রেই কাজ করে।
এই টুল শুধুমাত্র শিক্ষামূলক অনুশীলনের জন্য তৈরি।
